학습의 좋은 사례들, 좋은 책 소개들..
by jjang
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왜 어려운 수학을 공부해야 하나요?
왜 수학을 공부해야 하나요?
질문) 왜 어려운 수학을 공부해야 하나요?

▲ 강석진 교수  ⓒ

재미있는 이야기를 하나 해줄까.

옛날에 인도에 세타라는 사람이 있었는데 체스라는 게임을 처음 만들어서 온 나라에 전파시켰다고 해. 그러던 어느 날 세타가 그 나라 왕자와 게임을 하게 되었는데 체스에 반해버린 왕자가 이렇게 말을 했단다. “네가 만든 체스가 정말 재미있구나. 그래서 큰 상을 주고 싶으니 원하는 것이 있으면 뭐든지 말해 보아라.” 그런데 그때, 세타가 뜻밖의 말을 했단다.

“왕자님. 저는 욕심이 별로 없습니다. 그러니 체스 판 한 칸에 쌀 한 톨, 두 번째 칸에 두 톨, 세 번째 칸에 네 톨…이렇게 64칸에 다 채워 주십시오.”하고 말이야. ‘겨우 그 정도를 요구하다니…….’ 왕자는 흔쾌히 알았다고 허락을 했지.

다음 날이 되었어. 왕자는 체스판을 가지고 세타에게 줄 쌀의 양을 계산하다가 깜짝 놀라고 말았단다. 세타가 요구한 쌀의 양이 처음 생각과 달리 어마어마했던 거야. 왕자가 줘야 할 쌀의 양을 계산하면 ‘1+2+4+8+16+…’ 이렇게 64번을 더한 값이 되겠지?

 

이것을 수학식으로 표현하면 ‘1+2+2(2승)+2(3승)+…+2(63승)=2(64승)-1’이 되는데, 이 공식에 따라 세타가 요구한 쌀알의 개수는 모두 합쳤더니 18,446,744,073,709,551,615개가 된 거야. 쌀 1000톨의 무게를 25그램이라고 보면, 4천억 톤이 넘는 어마어마한 양이지.

우리나라 국민들이 1년 동안 먹는 쌀의 양의 여덟배나 되거든. 결국 세타의 요구를 별 거 아닌 걸로 생각했던 왕자가 뒤통수를 세게 얻어맞은 셈이지. 만약에 인도 왕자가 수학을 잘 했더라면 그런 실수는 하지 않았을 거야.

그건 그렇고 축구공을 자세히 들여다 본 적이 있니?

요즘 쓰는 축구공은 단순한 원 모양이 아니라 정오각형 12개와 정육각형 20개로 이루어줘 있다는 것을 알게 될 거야. 축구 선수의 힘센 발길질을 잘 견디면서도 축구공의 아름다운 모양을 그대로 유지할 수 있는 공을 만들려다 보니 그렇게 된 것이지.

이 공을 만들기 위해 가죽을 어떻게 오려야 할지는 알 수 있는 것은 ‘오일러의 특성수’란 공식 덕분이란다. 이 공식을 이용하면 일일이 여러 도형을 갖다 붙여 만들지 않고도 필요한 도형의 모양과 개수를 쉽게 알아낼 수 있지. 물론 이 공식은 좀 풀기 어려우니까 훗날 알아도 상관은 없단다.

어때 신기하지? 이처럼 수학은 우리 생활 가까이에 있어. 어떤 사람들은 덧셈, 뺄셈만 알면 됐지 어렵게 그 이상의 것들을 배워서 무슨 쓸모가 있느냐고 투덜대기도 하지만 우리 주변에서 ‘수학’과 관련되지 않은 일은 하나도 없단다.

매일 듣는 일기 예보도 사실은 숫자를 이용한 통계 자료로 만들어진 정보이고, 하루에도 몇 번씩 켰다 껐다 하는 컴퓨터도 수를 기초로 해서 만든 프로그램이 없다면 아무 쓸모도 없지. 뿐만 아니라 부모님들이 자주 보시는 주식 투자 정보, 야구 타율 계산 등 모든 것들에 수학의 숨결이 스며들지 않은 게 없단다.

게다가 수학이란 학문이 없다면 과학의 발전도 있을 수 없단다.

한 예로 수학이 없다면 우주 탐험은 꿈도 못 꿀 일이란다. 얼마의 속도로 우주선을 쏘아야 하는지, 달까지의 거리를 가는데 필요한 연료의 양은 얼마나 되는지를 계산 할 수 없는데 어떻게 우주 탐사 계획이란 게 나올 수 있겠니.

그뿐이 아니야. 원자처럼 눈에 보이지 않는 세계가 어떻게 생겼는지 알아내는 것도 바로 수학의 힘 덕분이란다. 위대한 발견을 한 과학자들은 대부분 수학을 좋아했던 것도 이 때문이란다. 어때 친구들도 수학과 친구가 되고 싶지 않니?

 
강석진교수님은요
서울대 수학과 졸업. 미국 예일대 수학박사. 서울대 수학과 교수를 거쳐 지금은 고등과학원 수학과 교수로 있답니다.수학 문제를 풀 때면 지금도 심장이 두근거린다는 교수님은 글 쓰는 일과 축구도 무척이나 좋아해요. 그래서 『수학의 유혹』『축구공 위의 수학자』등의 재미난 책도 썼고, 동네 축구 시합이 있을 때면 언제나 빠지지 않고 나가신대요.
 

 

 

 

 

 

 

강석진 고등과학원 교수   

출처 /; http://blog.naver.com/sycjs/20007596339

/강석진 고등과학원 교수   

by jjang | 2007/01/15 17:53 | 수학공부법 | 트랙백 | 덧글(0)
성장을 가로막는 적들...

변화가 나를 휘두를까봐 두려워하고,

위험을 무릅쓰다가 처절히 실패할까봐 두려워하고,

누군가 당신이 내건 목표나 꿈을 조롱하거나 무시할까봐 두려워하는 것.

이 세가지가 바로 진정한 의지와 성장을 가로막는 적들입니다.

 

용기란 두려움이 없는 상태를 말하는 것이 아닙니다.

진정한 용기란 두려움에도 '불구하고' 행동하는 것입니다.

 

                        책 Ping 중

by jjang | 2007/01/14 22:15 | 이런저런 좋은 것들 | 트랙백 | 덧글(0)
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by jjang | 2007/01/14 22:12 | 이런저런 좋은 것들 | 트랙백 | 덧글(0)
공부 테크닉 - 책 10번 읽는 법

어디서 옮겨왔는지는 잘 기억이 안나네요.

혹시 독서에 어려움이 있으신 분들이라면 한 번 해볼만하지 않을까 싶네요. 나도 한번 ~^^


⊙1단계=======(3회 독파)


   - 연필(또는 샤프 펜슬)로 모르는 단어나 중요 단어(핵심어) 밑줄 긋기를 하며 책을 편하게 읽어나간다.
   - 책 내용이 이해되건 말건,외워지건 말건,아둥바둥하지 않고 그냥 가벼운 마음으로 물흐르듯 룰루랄라
앞으로 앞으로 전우의 시체를 넘고넘어 앞으로만 진격하라.
읽다가 이해가 되지 않는다고 뒤돌아가면,구약성서의 소돔과 고모라의 이야기처럼 "소금기둥"이 되리라.^^
 - 그래야 두뇌가 스트레스를 받지 않고 밑줄 친 핵심어들이 머리에 정리된다.
    재래식 공부법처럼 책 내용을 이해하려고 파고들었다간 3회는커녕 1회 독파에도 지치고만다는 것이다.
 - 1단계의 연반추 학습은 즐거운 마음으로 책 내용 전부가 자연스럽게 두뇌에 저장될 때까지 놀아 가면서 하는 단계이다.


@이렇게 세 번 읽는다.그 책이 수험서이건 교양서적이건 상관없다.
@연반추 학습의 3차례 독파 시간은 재래식 공부법의 1차례 독파시간보다 짧다.
@책 내용을 머리 속에 자연스럽게 부드럽게 저장하는 과정이다.
@가장 중요한 주의사항-이해하려 들지 말라!!!
(그러면 두뇌에 주름잡힌다-주름잡히면 머리가 피곤해져 정보 받기를 거부한다-바로 이 점이 연반추 학습의 포인트:두뇌학!!!)
@밑줄 세차례로 책은 밑줄긋기로 사태가 날 지경이 된다-이 밑줄핵심어가 자신도 모르게 두뇌에 깊이 새겨진다:두뇌학!!!!

⊙2단계=========(2회 독파)


@형광펜으로 핵심어 중의 핵심어,즉 '진핵어'를 표시해나가며 책 읽는다."
이 단계에서 책을 읽는 속도는 기존 공부법의 3~4배 더 빨라진다"고 한다.
@이 단계에선 웬만한 교양서적(시오노 나나미의 로마인이야기,유시민의 경제학카페 등)은
그냥 이해가 되고 머리 속에서 정리가 된다.
@고백컨대,필자는 아무리 좋아하는 책도 3차례 이상 읽은 적이 없다.
공부 책은 꾸역꾸역 3번 가까이 보았지만,제발 빨리 끝나기를 학수고대하며 읽어내기에 바빴다.
@이렇게 형광펜으로 진핵어 표시하는 학습으로 책을 2차례 독파한다.
@하긴 이렇게 책을 읽으면 책 내용이 이해가 되지 않을래야 않을 수 없겠다 싶다:
바로 이 점도 이 학습법의 포인트이다.
재래식 방법으론 지쳐서 가지 못할 비포장 도로를,편하게 주행할 수 있도록 고속도로 포장도로를 놓은 셈이기 때문이다.
학습에 대한 심리적 거부감을 대폭 줄여가며 10회 독파의 고속도로를 달리게 하는 것이다.

⊙3단계======(5회 독파)


@연필로 밑줄 그은 핵심어와 형광펜으로 표시한 진핵어를 중심으로 책을 5차례 속독속해한다.
"이 단계가 되면 공부의 즐거움에 빠지며 책을 읽어나가는 속도가 얼마나 빨라지는지 스스로 놀라게 된다.
만약 이 학습법을 체득한 뒤 자녀들에게 전수하면 공부하는 재미에 푹 빠지게 돼 스스로 학습이 가능해진다"고 한다.
@이렇게 책 한 권을 10회 독파하는 속도는 기존 공부법의 3회 독파 속도보다 더 빠르다고 한다
.그런데 더욱 중요한 것은 재래식 공부법으론 3차례 독파조차 의지력이 강한 극소수만이 수행할 수 있는 끔찍한 일이지만,
이 학습법으론 "웬만하면" 10차례 독파가 즐겁게 진행될 수 있다는 점이다.
이 학습법의 핵심 포인트이다.
@이 단계에선 책 한권을 읽는 속도가 어마어마하게 빠르다.
저자 임성룡씨는 "7~8회 독파를 넘어 9~10회가 되면 책 내용이 그 밑바닥 영양가까지 전부 머리에 정리되는 것을 느낄 수 있다.
10회 독파면 웬만한 책은 몇시간이고 대중강연도 할 수 있다.완벽하게 그 책의 내용을 흡수했기 때문이다."고 말한다

by jjang | 2007/01/14 22:03 | 공부Tip | 트랙백 | 덧글(0)
[책] 카이스트 천재들의 수학공식 7가지

 

이 책을 읽은지 한참 된 것 같다. 2,3년 됐던가?

성동교역 성화지도교사를 할 때, 성화학생들에게 공부를 좀 쉽게 가르쳐줄 수 있는 방법이 없을까

고민하다 서점에서 우연이 발견한 책.

너무 공감되고 수학공부에 동생들에게 도움이 많이 되겠다 싶어 사서 읽었다.

정리가 좀 부실한 것 같아 미안한 마음으로

 

그 때 읽으면서 정리했던 내용을 올린다.

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저자 | 권승희

1976년 청주 출생으로 충북과학고등학교 2년 수료, 한국과학기술원(KAIST) 토목공학과 석사과정을 마쳤다. 현재 한국과학기술원(KAIST) 토목공학과 박사과정에 재학 중이다.

1.       Think Twice!

: 수학을 공부하다 보면 완벽히 이해하지 못한 것을 마치 이해한 것처럼 착각하는 경우가 있다. 이럴 때, 한번 더 생각하자.

수학에 사용되는 언어의 참과 거짓은 명확한 근거에 의해서만 결정된다.

, 아무리 사소해 보이는 것일지라도 참과 거짓을 판단하기 위해서는 확실한 이론적 근거가 꼭 필요하다.

꼼꼼히 깊이 생각하자!

아이디어가 잘 떠오르려면 완벽한 이해가 가장 기본!

 

2.       Save as Math.dat!

 

: 수학공부의 가장 중요한 목표는 논리적 사고력의 향상이다

수학을 공부한다. = 생각을 스스로 정리하고 판단하며 이해하는 과정

 

- 암기해야 할 것.

 

1) 이론적 내용을 공부하면서 암기해야 할 것 :

각 단원의 정의, 정리, 공식, 해법(완벽히 암기해야 한다. 조건까지 완벽히)

             2) 문제를 풀면서 암기해야 할 것 .

                         조건과 관련지어 암기.

                           자신만의  Know- How로 삼을 수 있는 사소하고 자질구레한 테크닉들.

                           문제의 아이디어

             3) 어떻게 하면 쉽게 잘 외울 수 있을까?

                           암기를 가장 정확하고 빠르게 할 수 있는 유일한 방법은 완벽이 이해하는  .

 

3.       One Shot!(단 한번에 끝내자)

일단 한 번 대충 보고 넘어가겠다는 생각은 위험하다~!!! -> 시간낭비가 심해진다.

수학교과서는 매우 체계적인 순서대로 단원들을 공부할 수 있도록 구성되어져 있다.

이 단원에 나오는 한 단어, 한 수식이라도 완벽히 이해하고, 그리고 필요한 것은 3년동안 꼭 기억하고 있어야지.’ 이런 생각으로 공부를 시작한다.

Ex) 집한의 연산

집합이라는 것은 뭘까? 연산이라는 것은 뭘까?

먼저 스스로 확실히 알고 있는지 생각해본다.

-         One Shot을 하면 좋은 점

-         1) 상쾌한 기분이 든다.

-         초고속으로 다시 One Shot이 가능하다.

 

4.       Am I Ready?

예습이 중요한다.

공부라는 거은 혼자 안아서 다른 사람에게서 들은 내용과 책에 있는 내용을 토대로 자신의 생각을 거쳐 그런 내용들을 자기만의 것으로 만드는 과정이다. , 혼자 묵묵히 앉아 생각하며 공부하는 시간이 필요하다.

수업의 효율성을 높이기 위해. 새로운 것을 수업시간에 한 번 듣고 이해한다는 것은 쉬운 일이 아니다. 하지만 자신이 먼저 한 번 공부하고 고민한 내용들에 대해서 수업시간을 통해 다시 들으면 그 친밀도가 높아져 학습능력도 향상되고 자신이 이해 안되었던 부분을 중점적으로 들을 수 있기 때문에 해결속도도 빠르다. 듣고서도 이해 안되는 부분은 질문을 통해 해결할 수 있다.

예습, 수업, 복습단계의 학습목표를 자신에 맞게 정하고 실천하자!

 

5.       Click Math.exe!

1)      문제파악

2)      전략세우기

3)      풀이

4)      검토

6.       No, Thanks

: 답을 보지 말자.

언제나 답은 문제에 대한 간단한 풀이와 함께 풀이의 결과로 얻은 정답을 보여준다.

문제 파악의 단계와 전략을 세우는 단계가 빠져있다.

7.       Let’s play!

8.       수학과 다른 과목과의 차별성: 논리적, 체계적.

9.       이야기책을 읽듯이 상상하면서 줄거리를 그리면서 수학 교과서를 보자.

by jjang | 2007/01/14 21:48 | 수학공부법 | 트랙백 | 덧글(0)
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